Слайд 2

А В О Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. Точка О называется центром симметрии фигуры. Две точки А и В называютсясимметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки. М М1 N N1 О Р Q

Слайд 3

Теорема. Центральная симметрия – движение.

Доказательство: Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX" Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Y" Y X" X O Свойство центральной симметрии: центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Слайд 4

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат.

Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами: x0 = -x0y0 = -y0 у х 0 А(x0;y0) А1(-x0;-y0) x0 -x0 y0 -y0

Слайд 5

Примеры из жизни.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей. Центральная симметрия встречается в форме воздушного и подводного транспорта (воздушный шар, парашют), архитектуре, технике, искусстве и быту. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов(голубика, черника, вишня, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки), а также для животных, ведущих подводный образ жизни (амёба). О О

Слайд 6

Одним из самых красивых примеров центральной симметрии является снежинка. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней, некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр Три различных гиперболоида

Слайд 7

Примеры решения задач.

Дано:ABCD - параллелограмм, треугольники ABM, BCK, CDP, DAH - правильные Доказать:KPHM - параллелограмм Решение: Рассмотрим центральную симметрию (поворот на 180 градусов) относительно точки O. Пусть f - центральная симметрия. f(B) = D, f(A) = C, f(D) = B, f(C) = A. При центральной симметрии f треугольник BCK (правильный) перейдет в равный ему треугольник DAH (правильный), по свойствам осевой симметрии (углы сохраняются). Аналогично треугольник AMB переходит в треугольник CPD. f(M) = P, f(K) = H, отсюда KO = OH, MO = OP, по признаку параллелограмма, KPHM – параллелограмм.

Слайд 8

Дано:угол ABC, точка D Построитьотрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке D Решение: Построим точку B" симметричную точке B. Пусть D - центр симметрии, BD = DB". Проведём прямую A"B", параллельную прямой BC и прямую B"C", параллельную прямой AB. Прямые A"B" и B"C" симметричны прямым ВС и AB соответственно относительно точки D. Значит, точка A" симметрична точке C" относительно точки D. Отсюда следует, что A"D = DC".

Посмотреть все слайды

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математика "Осевая и центральная симметрии" Тема урока

Симметрия в окружающем нас мире Взгляните на снежинку, бабочку, морскую звезду, листья растений, паутинку – это лишь некоторые про-явления симметрии в природе. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большин-стве случаев симметрич-ны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обо-ях. Симметричны многие детали механизмов.

Слово «симметрия» греческое (συμμετρία), оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”, неизменность при каких-либо преобразованиях.

Мысли великих… Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. Русский художник Илья Ефимович Репин Портрет писателя Л.Н.Толстого. 1887 г. http://ilya-repin.ru/master/repin9.php

О чём гласит предание… В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой. Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно? http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него. http://www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

Центральная симметрия Центральная симметрия является одним из видов симметрии. Фигура называется симметричной относительно точки O , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1 А А 1 О АО = ОА 1 Точка О – центр симметрии Центральная симметрия

Центральная симметрия (алгоритм построения) А А1 О Точка А симметрична точке А1 относительно точки О. О - центр симметрии. Отметим на листе бумаги произвольные точки O и A . Проведём через точки прямую OA . На этой прямой отложим от то ч ки O отрезок OA 1 , равный отрезку AO , но по другую сторону от точки O .

Фигуры, симметричные относительно точки (примеры)

Если внимательно рассмотреть данные орнаменты и фигуры, можно заметить, что все они имеют центр симметрии. Задание. На рисунке изображены различные геометричес-кие фигуры. Выберите из них те, которые име-ют центр симметрии, и изобразите их в тет-ради. Отметьте центр симметрии и точки, симметричные отмечен-ным точкам. б) в) г) а) д) е)

В А С О Центральная симметрия В1 А1 С1 Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному, относительно точки O .

Задание. Выполнить построение трапеции, симметричной данной, относительно точки O . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1) Проведём от вершин трапеции через точку O лучи AO , BO , CO , DO . 2) Построим на лучах точки, симметричные вершинам трапеции, относительно точки O . 3) Соединим полученные точки.

Осевая симметрия Фигура называется симмет-ричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка отно-сительно прямой a также при-надлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Рассмотрите данные фигуры. Каждая из них состоит как бы из двух полови-нок, одна из ко-торых является зеркальным отра-жением другой. Каждую из этих фигур можно сог-нуть «пополам» так, что эти поло-винки совпадут. Говорят, что эти фигуры симмет-ричны относи-тельно прямой – линии сгиба.

Осевая симметрия Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если: эта прямая проходит через середину отрезка АА 1, а перпендикулярна АА 1 . А А1 а a – ось симметрии. Точка А симметрична точке А1 относительно прямой а.

Осевая симметрия (алгоритм построения) А А1 а 1) Проведём через точку А прямую А O ,перпендикулярную оси симметрии a . 2) С помощью циркуля отло-жим на прямой А O отрезок O А 1 , равный отрезку O А.

Фигуры симметричные относительно прямой (примеры)

Ось симметрии имеют плоские и пространственные фигуры. Например: Некоторые фигуры имеют не одну ось симметрии. Задание. Из данных фигур выберите те, которые имеют ось симметрии. Есть ли среди них такие, которые имеют более одной оси симметрии? а) б) в) г) На листе бумаги изображена «ёлочка». Концы её нижних «веток» обозначены буквами A и A 1 . Если перегнуть «ёлочку» по прямой l , то точки A и A 1 совпадут. Если посмотреть на рисунок сверху, то точки A и A 1 будут расположены на пер-пендикуляре к прямой l по разные стороны и на равных расстояниях от неё. Такие точки называют симмет-ричными относительно пря-мой l .

B C А C1 B1 A1 а Осевая симметрия Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному относительно прямой a .

Задание. Выполнить построение пря-моугольника, симметричного данному относительно прямой a . 1) Проведём от вершин прямоугольника прямые, перпендикулярные данной прямой a . B B 1 a A C D A 1 C 1 D 1 2) Построим точки, симметричные вершинам прямоугольника. 3) Соединим полученные точки.

№ 417 (а) 1 2 3 Ответ: две прямые.

№ 417 (б) 1 2 Ответ: бесконечно много осей симметрии (любая прямая, перпендикулярная данной; сама прямая). № 417 (в) Ответ: одна прямая. 3 4 5

№ 418 F А Б E Г O 1 2

№422 а) в) б) 1 2 Ответ: да. Ответ: нет. 3 4 Ответ: да. г) 5 Ответ: да.

№423 А О М Х К 1 Ответ: О, Х.

Распределите данные фигуры по трём столбикам таблицы: «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Фигуры, обладающие центральной симметрией Фигуры, обладающие осевой симметрией Фигуры, имеющие обе симметрии 1 2 3 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 12, 13, 15 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15

Домашнее задание п.47 , устно ответить на вопросы №16-20 (с. 115 учебника); №416 ; №420.

Осевая и центральная симметрия

“ Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Немецкий математик Г. Вейль

Симметрия (означает «соразмерность») - свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки - это центральная симметрия, а симметрия относительно прямой - это осевая симметрия.

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой - перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия в архитектуре

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия. Храмы, посвященные богам, и должны быть такими: боги вечны, их не волнуют людские заботы. Наиболее ясны и уравновешенны здания с симметричной композицией. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям симметрия придает гармоничность, законченность.

Сфинкс в Гизе

Мечеть Асуан в Египте

Симметрия в искусстве

Симметрия используется в таких видах искусства, как литература, русский язык, музыка, балет, ювелирное искусство.

Если присмотреться к печатным буквам М, П, Т, Ш, В, Е, З, К, С, Э, Ж, Н, О, Ф, Х, можно увидеть, что они симметричны. Причем у первых четырех ось симметрии проходит вертикально, а у следующих шести – горизонтально, а буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.

Орнамент

Орнамент (от лат.ornamentum – украшение) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Он может быть ленточным (его называют бордюром), сетчатым и розетчатым. Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой. Сетчатый орнамент заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Бордюр получается при параллельном переносе вдоль прямой.

Зеркальная симметрия

Симметрию относительно плоскости в некоторых источниках называют зеркальной. Примерами фигур- зеркальных отражений одна другой – могут служить правая и левая руки человека, правый и левый винты, части архитектурных форм.

Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству, красоте. Поэтому он тянется к предметам, у которых больше симметрий. Почему симметрия приятна для глаз? Видимо потому, что симметрия господствует в природе. С рождения человек привыкает к билатерально симметричным родным ему людям, насекомым, птицам, рыбам, животным.

Небесная симметрия

• Каждую зиму на землю падают мириады снежных кристаллов. Их холодное совершенство и абсолютная симметрия поражает. Даже взрослые во время снегопада восторженно, как в детстве, поднимают лица к небу, ловят крупные снежинки и заворожено рассматривают приземлившиеся на ладонь кристаллы.. Среди снежинок встречаются «пластинки»,»пирамиды», «столбики», «иглы», «стелы» и «пули», простые или сложные «звездочки» с сильно разветвленными лучами – их еще называют дендриты.
• Гляциологи – ученые, изучающие формы, состав и строение льда, утверждают, что каждый снежный кристалл уникален. Однако все снежинки имеют и общую черту – они обладают гексагональной симметрией. Поэтому у «звездочек» всегда вырастают три, шесть или двенадцать лучей. Самая редкая двенадцатиконечная «звездочка» рождается в грозовых облаках.
• Первые систематические исследования снежных кристаллов предпринял в 1930-х годах японский физик Укихиро Накайя. Он выделил 41 тип снежинок и составил первую классификацию. Кроме того, ученый вырастил первую «искусственную» снежинку и выяснил, что величина и форма образующихся кристаллов льда зависит от температуры воздуха и влажности.

Палиндромы

Симметрию можно увидеть и в целых словах, таких, как «казак», «шалаш» - они читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. А вот целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): «Искать такси»,

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел»,

«А в Енисее - синева»,

«Город до́ро́г»,

«Don’t nod (Не кивай)».

Такие фразы и слова называются палиндромами.

Рисунки, выполненные обучающимися

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки.

Симметрия присутствует везде: в регулярности смены дня и ночи, времён года, в ритмичном построении стихотворения, практически там, где присутствует какая-то упорядоченность и регулярность.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Презентация «Движения. Центральная симметрия» является наглядным пособием для ведения урока математики по данной теме. С помощью пособия учителю легче сформировать представление ученика о центральной симметрии, научить применять знания о данном понятии при решении задач. В ходе презентации дается наглядное представление центральной симметрии, определение понятия, отмечаются свойства симметрии, описывается пример решения задачи, в которой используются полученные теоретические знания.

Понятие движения является одним из наиболее важных математических понятий. Рассматривать его без наглядного представления невозможно. Презентация - лучший способ наиболее понятно и выгодно представить учебный материал по данной теме. В презентации содержатся иллюстрации, которые помогают быстрее сформировать представление о центральной симметрии, анимация, улучшающая наглядность демонстрации и обеспечивающая последовательную подачу учебного материала. Пособие может сопровождать объяснение учителя, помогая ему быстрее достичь учебных целей и задач, способствуя повышению эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления понятия центральной симметрии на плоскости. На рисунке изображена плоскость α, на которой отмечена точка О, относительно которой рассматривается симметрия. От точки о в одну сторону отложен отрезок АО, равный которому А 1 О отложен в противоположную сторону от центра симметрии. На рисунке видно, что построенные отрезки лежат на одной прямой. На втором слайде понятие рассматривается более детально на примере точки. Отмечается, что центральная симметрия представляет собой процесс отображения некоторой точки К в точку К 1 и обратно. На рисунке демонстрируется подобное отображение.

На слайде 3 вводится определение центральной симметрии как отображения пространства, характеризующееся переходом каждой точки геометрической фигуры в симметричную относительно выбранного центра. Определение проиллюстрировано рисунком, на котором изображено яблоко и отображение каждой его точки в соответствующую точку, симметричную по отношению к некоторой точке на плоскости. Таким образом, получаем симметричное изображение яблока на плоскости относительно данной точки.

На слайде 4 понятие центральной симметрии рассматривается в координатах. На рисунке изображается пространственная прямоугольная система координат Оxyz. В пространстве отмечена точка М{x;y;z}. Относительно начала координат М симметрично отображается и переходит в соответствующую М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 }. Демонстрируется свойство центральной симметрии. Отмечается, что среднее арифметическое соответствующих координат данных точек М{x;y;z}, М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 } равно нулю, то есть (x+ x 1)/2=0; (y+ y 1)/2=0; (z+z 1)/2=0. Это равносильно тому, что x=-x 1 ; y=-y 1 ; z=-z 1 . Также отмечается, что данные формулы будут верны и при совпадении точки с началом координат. Далее доказывается равенство расстояний, которые между точками, симметрично отраженных относительно центра симметрии - некоторой точки. Для примера указываются некоторые точки А{x 1 ;y 1 ;z 1 } и В{x 2 ;y 2 ;z 2 }. Относительно центра симметрии данные точки отображаются в некоторые точки с противоположными координатами А{-x 1 ;-y 1 ;-z 1 } и В{-x 2 ;-y 2 ;-z 2 }. Зная координаты точек и формулу для нахождения расстояний между ними определяем, что АВ=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а для отображенных точек А 1 В 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(-z 2 +z 1) 2). Учитывая свойства возведения в квадрат, можно отметить справедливость равенства АВ=А 1 В 1 . Сохранение расстояний между точками при центральной симметрии свидетельствует о том, что она является движением.

Описывается решение задачи, в которой рассматривается центральная симметрия относительно О. На рисунке изображена прямая, на которой выделены точки М, А, В, центр симметрии О, прямая, параллельная данной, на которой лежат точки М 1 , А 1 и В 1 . Отрезок АВ отображается в отрезок А 1 В 1 , точка М - в точку М 1 . Для данного построение отмечается равенство расстояний, которое обусловлено свойствами центральной симметрии: ОА=ОА 1 , ∠АОВ=∠А 1 ОВ 1 , ОВ=ОВ 1 . Равенство двух сторон, углов означает, что соответствующие треугольники равны ΔАОВ=ΔА 1 ОВ 1 . Также указывается, что углы ∠АВО=∠А 1 В 1 О как накрест лежащие при прямых А 1 В 1 и АВ, поэтому отрезки АВ и А 1 В 1 являются параллельными между собой. Далее доказывается, что прямая при центральной симметрии отображается в параллельную прямую. Рассматривается еще одна точка М, принадлежащая прямой АВ. Так как образующиеся при построении углы ∠МОА=∠М 1 ОА 1 равны как вертикальные, а ∠МАО=∠М 1 А 1 О равны как накрест лежащие, а согласно построению отрезки ОА=ОА 1 , то треугольники ΔМАО=ΔМ 1 А 1 О. Из этого следует сохранения расстояния МО= М 1 О.

Соответственно, можно отметить переход точки М в М 1 при центральной симметрии, и переход М 1 в точку М при центральной симме6трии относительно О. прямая при центральной симметрии переходит в прямую. На последнем слайде можно на практическом примере рассмотреть центральную симметрию, при которой каждая точка яблока и все его линии отображаются симметрично, получая перевернутое изображение.

Презентация «Движения. Центральная симметрия» может применяться для повышения эффективности традиционного школьного урока математики по данной теме. Также данный материал может успешно использоваться для улучшения наглядности объяснения учителя при дистанционном обучении. Ученикам, недостаточно хорошо усвоившим тему, пособие поможет получить более четкое представление об изучаемом предмете.